ألف يوم ويوم

فى قصة Moradbals الفارسية والتى تعنى ألف يوم ويوم، نجد المسألة التالية:

ذهبت سيدة إلى حديقة لجمع التفاح، وكان للحديقة أربعة أبواب، ولكل باب حارس، وعندما جمعت التفاح أعطت الحارس الأول نصف الكمية التى جمعتها من التفاح، ثم أعطت الحارس الثانى نصف كمية التفاح المتبقى، وهكذا مع الحارسين الثالث والرابع، فتبقى معها فى النهاية عشر تفاحات?

كم تفاحة جمعتها السيدة من الحديقة؟

عدد التفاح الذى جمعته السيدة من الحديقة = 160 تفاحة، ولإثبات ذلك رياضيا نفرض أن عدد التفاح = س، فيحصل الحارس الأول على: 2/س، والثانى على: 4/س، والثالث على: 8/س، والرابع على:16/س، وحيث أن الرابع حصل على نصف ما تبقى معها فإن:

16/ س = 10، فتكون قيمة س = 16 X 10 = 160

مسألة لبهاسكارا الهندى

 

يعتبر أتشارجا بهاسكارا (1114- 1185) Atscharja Bhaskara من عظماء العلماء الهنود في العصور الوسطى، وفى كتاب Siddh Anta Siromani  جوهرة االرئيس للنظام الفلكى ( نشره عام 1150 نذكر منه هذه المسائل:

1.     ما هو العدد الذى إذا قسمته على: 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 كان الباقى دائما (1)، وإذا قسمته على (7) لم يكن هناك باق؟

2.     قطيع من القردة إذا أخذت ثمن عدده وربعته كان الناتج مساويا لعدد القردة التى تقفز فوق الأشجار، أما الـ 12 قردا الباقية فجالسة تتحدث مع بعضها البعض، فكم يبلغ عدد القردة فى القطيع؟

3.     إذا كان ثمن خمس من الحمامات يعادل ثلاثة دراما (عملة هندية قديمة)، وثمن سبعة من طائر الكركى يبلغ خمسة دراما، وثمن تسع من الأوز يبلغ سبعة دراما، وثمن ثلاثة من الطاووس يبلغ تسعة دراما. فإذا أراد شخص أن يشترى مائة من الطيور مقابل مائة من الدراما، فكيف يكون الإختيار بين الطيور الأربعة؟

4.     ما هو العدد الذى إذا ضربته فى 221، وأضفت للناتج 65، فإن الناتج النهائى يقبل القسمة على 195 بدون باق؟

1.     العدد الذى إذا قسم على: 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 كان الباقى دائما (1)، وإذا قسمته على (7) كان الباقى صفرا هو أحد الأعداد التالية: 301 – 721 – 1141 – 1561.

2.     عدد القرود هو 16 قردا، ولإثبات ذلك رياضيا نفرض أن عدد القرود = س، فيكون:

3.     أحد الحلول التى ذكرها بهاسكارا ضمن 16 حلا توصل إليها هو:

ثمن الحمام = 3/5 دراما         ثمن الكركر    = 5/7 دراما

ثمن الأوز  = 7/9 دراما         ثمن الطاووس = 3 دراما

4.     العدد هو 50.

مسألة للوكا باتشولي

وضع عالم الرياضيات الإيطالى لوكا باتشولي Luca Pacioli (1445-1517) عام 1494 كتابه : مسائل الرياضيات والجبر والنسبة والتناسب Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni, et Proportionalita جاءت به هذه المسألة:

يجلس فأر فوق شجرة إرتفاعها 60 ذراعا، وأراد قط موجود على سطح الأرض أسفل الشجرة الوصول إلى الفأر لإصطياده، فإذا كان الفأر يهبط كل يوم أثناء النهار نصف ذراع، بينما يتسلق عاليا أثناء الليل سدس ذراع، وكان القط يتسلق أثناء النهار ذراعا واحدا، ويهبط أثناء الليل ربع ذراع، وفى نفس الوقت تنمو الشجرة يوميا أثناء النهار ربع ذراع، وتنكمش أثناء الليل ثمن ذراع.

متى يلحق القط بالفأر؟ وكم يكون إرتفاع الشجرة عندئذ؟

يلحق القط بالفأر بعد 63 يوما عند إرتفاع 47 ذراعا وربع من سطح الأرض، ويكون إرتفاع الشجرة عندئذ 68 ذراعا.

مسألة ليوهانس فيدمان

يعتبر الرياضى الألمانى يوهانس فيدمان Johannes Widmann  (1460-1498) هو أول من علامتى الجمع + والطرح – والتى ذكرها فى كتابه الذى أصدره عام 1489 بعنوان " Behende und hübsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft" " الحساب الذكى والجميل لكل الحرف"، وقد ذكر فيه هذه المسألة:

أراد أسد وذئب وكلب أن يفترسوا سويا خروفا، فإذا كان الأسد يأكل الخروف بمفرده فى ساعة واحدة، بينما يأكل الذئب الخروف فى أربع ساعات، ويأكله الكلب فى ست ساعات.

فكم من الوقت يستغرقه الأسد والذئب والكلب فى إفتراس الخروف معا؟

نرى أن الحيوانات الثلاثة تحتاج لإفتراس الخروف خلال ساعة معا :

1 + 1/4 + 1/6 = 17/12 خروفا

ولكى يفترسوا الخروف معا فإنهم محتاجون إلى 12/17 ساعة، أى:

(12 X 60) / 17 = 720/17 = 42 دقيقة و 31 ثانية.

مسائل لبهاء الدين العاملى

1.     نفرض أن عدد الأولاد = س، وعدد الدنانير = جـ

فحسب توزيع الإخوة بينهم للتركة فإن:

جـ = 1 + 2 + 3 + ........ + س

وحيث أنها متوالية هندسية فإن:   جـ = 2/س ( س + 1 )  

وحسب توزيع الحاكم فإن : جـ = 7س، أى أن :

7س = 2/س ( س + 1 ) ، س² + س = 14س  ، أى أن : س = 13

إذن فعدد الأولاد = 13 ولدا، وعدد الدنانير = 13 X 7 = 91 دينارا.

2.     عدد الأحواض التى تملؤها الأنبوبة الأولى فى اليوم = 4 حوض،

عدد الأحواض التى تملؤها الأنبوبة الثانية فى اليوم = 6 حوض،

عدد الأحواض التى تملؤها الأنبوبة الثالثة فى اليوم = 7 حوض،

عدد الأحواض التى تملؤها الأنابيب الثلاث فى يوم = 17 حوض،

عدد الأحواض التى تفرغها البالوعة فى اليوم الواحد= 8 حوض.

عدد الأحواض الممكن ملؤها مع إستمرار تفريغ البالوعة فى اليوم الواحد:

                 = 17 – 8 = 9 حوض،

أى أن الحوض يملأ فى زمن قدره = 9/1 يوم، أى ساعتان وأربعون دقيقة.

3.     نفرض أن طول السمكة = س، فإن:

س – 1/3 س – 1/4 س = 3

5/12 س = 3، أى طول السمكة = 1/5 7 شبر.

4.     إذا رمزنا للرجل الأول بـ س، والرجل الثانى بـ ص، فإن:

س + 1/3 ص = 1/4 س + ص، أى أن: 3/4 س = 2/3 ص، أى أن : 9 س = 8 ص، أى أن نسبة ما مع الأول إلى الثانى هى نسبة : 8 : 9.

فإذا كان مع الأول 8 دراهم، كان مع الثانى 9 دراهم، ويكون ثمن الدابة = 11 درهما.

وأطلق العرب على هذا النوع من المسائل اسم المسائل السيالة، أى التى ليست لها إجابة واحدة، بل عدة أجوبة.

5.     فى هذه المسألة نجد أن مجموع أوزان العسل والخل والماء = 18 رطلا، وعند صبها فى إناء واحد يتم مزجها وتصبح متجانسة بحيث عند إعادة تفريغها فى الأقداح بنفس الأوزان الأصلية يكون وزن كل من السوائل الثلاث فى أى من الأقداح بنسبة : 4 : 5 : 9، ويكون الوزن الفعلى لأى من هذه السوائل بحسب سعة القدح بالنسبة لمجموع الأوزان وهى:

 القدح الأول: وزن العسل فيه = 4/18 X 4 = 8/9 رطلا

وزن الخل فيه  = 4/18 X 5 = 1/9 1 رطلا

وزن الماء فيه  = 4/18 X 9 = 2   رطلا    المجموع = 4 أرطال

القدح الثانى: وزن العسل فيه = 5/18 X 4 = 1/9   1 رطلا

وزن الخل فيه  = 5/18 X 5 = 7/18 1 رطلا

وزن الماء فيه  = 5/18 X 9 = 1/2 2  رطلا المجموع = 5 أرطال

القدح الثالث: وزن العسل فيه = 9/18 X 4 = 2       رطلا

وزن الخل فيه  = 9/18 X 5 = 1/2 1 رطلا

وزن الماء فيه  = 9/18 X 9 = 1/2 4  رطلا المجموع = 9 أرطال

6.     إذا كان طول الليل 12 ساعة، فإذا فرضنا أن ما مضى من الليل = س، فإن الباقى من الليل = 12 – س، وحيث أن ثلث ما مضى من الليل يساوى ربع ما بقى، تكون:

1/3 س = 1/4 (12 – س)

(1/3 + 1/4) س = 3، أى أن : 7/12 س = 3، فتكون س = 36/7 =  1/7 5 ساعة، وهو ما مضى من الليل، ويكون ما بقى من الليل = 6/7 6 ساعة.

ظاهرة غريبة لرقم التسعة هل تجد تفسير لها?

طريقة هندية لمعرفة قيمة كسر بسطه 19

للقدماء الهنود طرق حسابية سريعة عرفت باسم الفيديك Vedic، حيث يتم إستخدام العقل للوصول إلى الناتج بسرعة، نتعلم منها كيفية حساب قيمة كسر بسطه 19، فكما نعلم لكى نحصل على الناتج نقوم بالعملية الحسابية كما يلى:

أما الطريقة الهندية الأسرع فنقوم بعمل الآتى:

 ونستمر بنفس الخطوات إلى أن يصبح أخر رقم نحصل عليه هو الـ 1، كما يلى على اليسار :

1 ₁ 0 5 ₁ 2 6 3 ₁ 1 ₁ 5 ₁ 7 ₁ 8 9 ₁ 4 7 ₁ 3 ₁ 6 8 4 2 1

ثم نحذف الـ 1 الموجود على اليسار ونضع بدلا منه 0.

فيكون ناتج :

1/19 = 0.052631578947368421 ...

     نفس الخطوات السابقة يمكن إستخدامها لإيجاد ناتج 29/1، حيث نقوم بأخذ عشرات البسط ونضيف إليه 1، أى نأخذ الـ 2 مع الـ 1 تصبح 3، نضعها على يسار الواحد، ثم نقوم بالضرب فى كل مرة فى 3، كما يلى:

وهكذا بنفس الطريقة، فنصل إلى أن النتيجة هى:

أى أن ناتج: 

1/29 = 0.0344827586206896551724137931 ...

     أيضا إذا أردنا أن نعرف ناتج: 1/49، نقوم بأخذ عشرات البسط ونضيف إليه 1، أى نأخذ الـ 4 مع الـ 1 تصبح 5، نضعها على يسار الواحد، ثم نقوم بالضرب فى كل مرة فى 5، فنجد فى النهاية:

₄ 8 ₃ 9 ₄ 7 ₂ 9 ₄ 5 9 ₄ 1 ₁ 8 ₃ 3 ₃ 6 ₁ 7 ₂ 3 ₃ 4 ₄ 6 ₁ 9 ₄ 3 ₃ 8 ₃ 7 ₂ 7 ₂ 5 5 1

           

            فيكون الناتج:

0.89795 91836734693877551