مسألة أرانب فيبوناتشى

   ذكر عالم الرياضيات الإيطالى ليوناردو فيبوناتشي  Leonardo Fibonacci  (1175 – 1250) فى كتابه المنشور عام 1202 باسم كتاب الحساب Liber Abaci، المسألة التالية:

" وضع رجل زوجا من الأرانب البرية فى مكان محاط بالأسوار، فإذا كانت الأرانب تضع زوجا من الأرانب كل شهر، والتى تكون قادرة على الإنجاب بعد الشهر الثانى من عمرها، مع إفتراض عدم موت أى أرنب خلال العام."

فكم يبلغ عدد الأرانب التى تنتج خلال عام؟

حيث أن الأرانب تكون قادرة على الإنجاب عندما تبلغ عامها الثانى، هنا سيكون عدد الأرانب فى الشهر الأول والثانى سيكون زوجا واحدا فنجد عددها فى :

الشهر الأول                                 1      زوج

الشهر الثانى                                1      زوج

الشهر الثالث                                2      زوج

الشهر الرابع                                3      زوج

الشهر الخامس                             5      زوج

الشهر السادس                             8      زوج

الشهر السابع                               13    زوج

الشهر الثامن                                21    زوج

الشهر التاسع                               34    زوج

الشهر العاشر                               55    زوج

الشهر الحادى عشر                       89    زوج

الشهر الثانى عشر                         144  زوج

لاحظ إبتداء من الشهر الخامس تكون أعداد أزواج الأرانب فى هذا الشهر هى مجموع أعدادها فى الشهرين السابقين عليها، وهكذا فى كل شهر، وعرفت هذه الظاهرة بأرقام فيبوناتشى وهى:

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، وهكذا.

ديوفانتوس السكندرى

كان ديوفانتوسDiophantus  (215-299م ) عالما يونانيا فى الرياضيات تعلم وعاش فى الإسكندرية، وهو أول من عرّف الكسور كأرقام في القرن الثالث الميلادي، وأشهر كتبه كتاب الرياضيات الذى يضم مجموعة من المعادلات وحلولها الرقمية لكلٍ من المعادلات ذات الحل الواحد أو متعددة الحلول، منها هذه المسألة:

إذا كان لدينا عددان هما (200 ، 5)، فما هو العدد الثالث الذى إذا ضرب فى العدد الأول كان الناتج عددا مربعا، وإذا ضرب فى العدد الثانى كان الناتج هو الجذر التربيعى للناتج المربع؟.

الإجابة أن العدد الثالث هو (8)، فلو فرضنا أن العدد الثالث = س فإن:

ومن الطريف أن قبره كان عليه حجرا مكتوب عليه:

" هذا هو الحجر التذكارى يغطى قبر ديوفانتوس شاهدا على هذه المعجزة، فقد منحه الله تعالى فترة تعادل سدس عمره ليعيش مرحلة الطفولة.          

وعليهم    1/12 من عمره نبت شاربه فوق شفتيه.  

وعليهم سُبع عمره عندها عقد قرانه.

وبعد خمس سنوات من زواجه رزق بولد.

ومن المؤلم أن إبنه الذى أحبه بشدة عاش نصف عمر والده، ثم لقى حتفه.

بعدها بأربع سنوات لحقه الأب إلى نهايته الأبدية."

فكم كان عمر ديوفانتوس عندما مات؟

إذا رمزنا لعدد السنين التى عاشها ديوفانتوس بـ س فنجد أن :

عاش ديوفانتوس 84 سنة، قضى 14 سنة فى فترة الطفولة، ونبت شاربه وهو فى الحادية والعشرين من عمره، وعندما بلغ الثالثة والثلاثين عقد قرانه، ورزق بولد وهو فى الثامنة والثلاثين من عمره، إلا أن إبنه مات عن إثنين وأربعين سنة، وكان ديوفانتوس فى الثمانين من عمره، وبعدها بأربع سنوات مات ديوفانتوس.

مسألة خزان المياه

من كتاب الرياضيات الصينى Chiu Chang Suan Shu  والذى يعود إلى حوالى 150 سنة قبل الميلاد، ويعتبر من أشهر كتب الرياضيات فى الصين، حيث يحتوى على تسعة فصول، ويحوى على 246 مسألة مع شرح واف لحلها، ننقل منه هذه المسألة:

لدينا خزان مياه مركب عليه ثلاثة من الصنابير، إذا فتح الصنبور الأول قام بملأ الخزان فى عشرة ساعات، أما الثانى فيملأه فى 20 ساعة، بينما إذا فتح الثالث فسيملأه فى 60 ساعة.

فإذا فتحت الصنابير الثلاثة معا، فما هو الزمن اللازم لملأ الخزان؟

مسألة أحمس

يعتبر أحمس (1560 – 1525 ق.م) أول من ألف فى علم الحساب، حيث عثر على بردية رايند، والتى إشتراها عالم الآثار الإنجليزى الكسندر هنرى رايند (1833-1863) Alexander Henry Rhind عام 1858، ويبلغ طولها 199 سم وعرضها 32 سم، وعرفت بكتاب حساب أحمس، وضمت 84 مسأله حسابية وجبرية وهندسية، نذكر منها هذه المسألة:

" هناك سبعة أشخاص، لدى كل واحد منهم سبع قطط، كل قطة تأكل فى اليوم سبعة فئران، وكل فأر يأكل فى اليوم سبع سنابل من الشعير، ومن كل سنبلة شعير نحصل على سبع كيلات من الحبوب ( الكيلة = 16.5 لترا = 12 كجم )."

فكم كيلة من الشعير أمكن إنقاذها بواسطة القطط السبع؟

يلاحظ أنه ظهرت مسأله تشابه مسألة أحمس عام 1203، ذكرها عالم الرياضيات الإيطالى ليوناردو فيبوناتشي  Leonardo Fibonacci  (1175 – 1250) فى كتابه المنشور عام 1202 باسم كتاب الحساب Liber Abaci، جاءت كما يلى:

" فى الطريق إلى روما كانت هناك سبع من السيدات الكبيرات فى السن، مع كل واحدة منهن سبعة من البغال، ويحمل كل بغل سبعة أجولة، ويحتوى كل جوال على سبعة أرغفة من العيش، ثم قمن بقطع رغيف العيش إلى سبع قطع، ثم قطعن كل قطعة إلى سبعة أجزاء صغيرة وضعنها فى جراب."

فكم يبلغ عدد أجزاء القطع الصغيرة التى حملنها إلى روما؟

بنفس طريقة مسألة أحمس فسوف يكون يكون عدد أجزاء القطع الصغيرة من العيش يساوى 117.649 قطعة.

ثم ظهرت مسألة مشابهة عام 1730 بإنجلترا، تقول:

" وأنا ذاهب إلى سانت إيفز St. Ives، قابلت رجلا معه تسعة من الزوجات، كل زوجة معها تسعة حقائب، فى كل حقيبة تسع قطط، مع كل قطة تسع من القطط الصغار.

فكم عدد الذين يذهبون إلى سانت إيفز؟

ثم ظهرت نسخة أخرى فى مجلة إنجليزية فى 4 أغسطس عام 1779 بصيغة مختلفة:

بينما أنا ذاهب إلى سانت إيفز، قابلت فى الطريق رجلا له سبعة زوجات، كل زوجة معها سبعة حقائب، فى كل حقيبة سبع قطط، مع كل قطة سبع من القطط الصغار.

فكم عدد الذاهبين إلى سانت إيفز؟

الإجابة: شخص واحد وهو الذى طرح المسألة، لأنه هو الذاهب إلى سانت إيفز، وقابل فى طريقه الرجل وزوجاته الذين كانوا يسيرون فى الطريق العكسى.

سحر الرقم (1)

إذا كتبنا الرقم (1) أربع مرات على الصورة (11)¹¹ فإن قيمته العددية تبلغ حوالى 250 مليون، وهذه هى أكبر قيمة يمكن لنا أن نحصل عليها من إستخدام الرقم (1) أربع مرات.

فهل يمكن لك إستخدام الرقم (1) أربع أو ست مرات مع إستخدام العلامات الرياضية من جمع وطرح وضرب وقسمة للحصــــول على ناتج يساوى الأرقــــام من    (1 – 15)؟

حاول أن تقوم بذلك بنفسك، وإن لم تستطع فالناتج كما يلى:

الجمع عند قدماء المصريين

يُرجع أرسطو أساس الرياضة إلى المصريين القدماء، فذكر أن فنون الرياضيات نشأت فى مصر، ففى مدينة ممفيس عاش أرسطو عشرين عاما، درس خلالها الحساب على أيدى الكهنة المصريين، ولا توجد لدينا أية مصادر عن تلك الرياضيات سوى ما وصل إلينا منها عن طريق برديات رايند والتى تعود إلى عام 1650 ق.م، والتى إشتراها عالم الأثار الإنجليزى هنرى الكسندر رايند  Alexander Henry Rhind  عام 1858.

فى هذه البرديات ذكرت الطرق الحسابية التى كان يستخدمها موظفوا الدولة المصرية القديمة لحساب كميات الغلة، أو توزيع المرتبات، أو لقياس مساحات الأرض.

واستخدم المصريون القدماء للتعبير عن الأرقام من ( 1 – 9 ) شكل الأعمدة الصغيرة كما فى الشكل المقابل.

وللتعبير عن علامة الجمع (+) أستخدموا شكل قدمين تسير فى إتجاه اليمين نحو الشمال، وعلامة الطرح كانت قدمين تسير فى إتجاه الشمال نحو اليمين.

فلو أردنا أن نجمع :

79 + 165

كانت طريقتهم كما يلى:

مزرعة بقر

ذكر إسحاق نيوتن Isaac Newton عالم الرياضيات والفيزياء ( 1642-1727)  فى كتابه الحساب العالمي Arithmetic Universal الصادر عام 1707 هذا اللغز:

" إذا كانت 70 بقرة تأكل كل عشب المزرعة فى 24 يوما، بينما تأكله 30 بقرة فى 60 يوما، فكم عدد البقرات التى تأكل هذا العشب فى 96 يوما؟".

ملحوظة: ينمو العشب الذى تأكله الأبقار يوميا بنفس الحجم

يتم حل هذا اللغز حسابيا كما يلى:

حيث أن كمية العشب المنتجة يوميا تساوى كمية العشب المأكولة، فإذا إفترضنا أن كمية العشب الموجودة = س، وكمية العشب التى تأكلها الأبقار = ص.

حيث أن 70 بقرة تأكل كل عشب المزرعة فى 24 يوما، فإن:

س + 24 ص = 70 X 24 = 1680                             1

وحيث أن 30 بقرة تأكل كل عشب المزرعة فى 60 يوما، فإن :

س + 60 ص = 30 X 60 = 1800                             2    

نفترض أن عدد البقر المطلوب ليأكل العشب فى 96 يوما = ع، فإن:

س + 96 ص = د X 96                                            3

بطرح المعادلة (1) من المعادلة (2)، ينتج:

36 ص = 1800 – 1680

36 ص = 120، أى أن ص = 10/3                               4

بطرح المعادلة (2) من المعادلة (3)، ينتج:

36 ص = 96 د – 1800، بالتعويض عن قيمة ص فى المعادلة (4) ينتج:

120 = 96 د – 1800

96 د = 1800 + 120 = 1920

أى أن د = 20

من هنا يمكن لعشرين بقرة أن تأكل العشب فى 96 يوما.

الخطأ الذى وقع فيه المدير

أعلنت شركة عن حاجتها إلى موظف، فتقدم إليها الكثير، وسأل مدير الشركة أحدهم عن المرتب الذى يريد أن يحصل عليه شهريا، فرد الموظف بأنه يريد 5.000 جنيه شهريا، أى 60.000 سنويا.

فوجئ مدير الشركة بالمبلغ وقال له:

إن هذا المبلغ ضخم جدا، ولا أظن أنك تعمل وقتا طويلا حتى أمنحك هذا المرتب.

فلو حسبنا أن السنة بها 365 يوما فنجد أنك تنام يوميا حوالى 8 ساعات، أى ثلث اليوم، والتى تعادل 122 يوما،  فيتبقى لدينا 243 يوما.

وتعمل 8 ساعات أخرى ليس للشركة ولكن لممارسة هواياتك، والتى تعادل 122 يوما، ويتبقى لدينا 121 يوما.

وفى العام 52 جمعة وهى عطلة رسمية، فيتبقى لدينا 69 يوما.

والشركة تعمل يوم الخميس نصف يوم، وبالتالى لا تعمل للشركة سوى 4 ساعات، وهذه تعادل 26 يوما، فيتبقى لنا من العام 43 يوما.

فى كل يوم تحصل على ساعة يوميا لتناول وجبة الإفطار والغذاء، وهذه تعادل 12 يوما، فيتبقى 28 يوما.

لك فى العام إسبوعان أجازة، أى يتبقى 14 يوما، ثم اخصم اجازات الأعياد والمناسبات الوطنية، فسوف يتبقى فى النهاية أربعة أيام فقط.

هل تعتقد أننى أدفع لك 60.000 جنيها سنويا مقابل عملك فقط لمدة أربعة أيام خلال العام.

هل كان المدير محقا فى حساباته؟

الخطأ الذى وقع فيه المدير أنه كان يقوم بعملية الطرح أكثر من مرة لنفس الأيام.

حفلة رقص

إشترك 20 شخصا فى حفلى رقص، حيث رقصت سعاد مع سبعة رجال، ورقصت وفاء مع ثمانية رجال، ورقصت أمال مع تسعة رجال، وهكذا حتى رقصت هدى مع عشرة رجال، فما عدد السيدات اللآتى رقصن فى الحفلة؟

سنفترض أن عدد السيدات = ص

فنجد أن سعاد قامت بالرقص مع       6 + 1      من الرجال

ووفاء قامت بالرقص مع                6 + 2      من الرجال

وأمال قامت بالرقص مع                6 + 3      من الرجال

وهدى قامت بالرقص مع               6 + ص     من الرجال

وحيث أن :

                    ص + (6 + ص) = 20

                    2 ص = 14 ، أى أن ص = 7

فيكون عدد السيدات فى الحفلة سبعة سيدات، وعدد الرجال 13 رجل.

طائران وسمكة

من الألغاز العربية التى تعود للقرن الحادى عشر نجد هذا اللغز:

نخلتان موجودتان على ضفاف نهر متقابلتان، كل على الجانب الآخر من النهر، إرتفاع الأولى 30 ذراعا، وإرتفاع الثانية 20 ذراعا، والمسافة بين النخلتين من سطح الأرض 50 ذراعا.

وهناك طائر على كل نخلة، وفى لحظة واحدة شاهد الطائران سمكة تسبح على سطح ماء النهر بين النخلتين، فقام الطائران بالطيران والغوص فوصلا للسمكة فى نفس الوقت.

اذكر المسافة بين النخلة الكبرى والسمكة؟

أى أن السمكة على بعد 20 ذراعا من النخلة التى إرتفاعها 30 مترا.

الموسيقار ريتشارد فاجنز والعدد 13

صاحب العدد 13 الموسيقار الألمانى الشهير ريتشارد فاجنز Richard Wagner حيث نجد:

·       يتكون اسمه باللغة الألمانية من 13 حرفا.

·       ولد فى 22 مايو عام 1813، حيث نجد أحاد وعشرات العام تكون العدد 13، كما أن مجموع أرقام السنة :  3+1+8+1= 13.

·       من أشهر أعماله وأكبرها أوبريت تانهويزر Tannhäuser  قد إنتهى من تأليفها فى 13 إبريل عام 1845، وعرضت لأول مرة فى 13 مارس عام 1861.

·       إنتهى من تأليف أوبرا بارسيفال Parsifal فى 13 يناير عام 1882.

·       عرضت أوبرا فالكورى alküre Wفى 26 يونيو عام 1870، واليوم هو مضاعف العدد 13.

·       ألف أوبرا لوهنجرن Lohengrin عام 1848، لكنه عرضها لأول مرة عام 1861، أى بعد 13 سنة من تأليفها.

·       مات فاجنر فى 13 فبراير عام 1883.