من غرائب الأعداد

من سحر الأعداد

الناتج 30

متتالية جون هورتون كونواي

يعتبر عالم الرياضيات البريطانى جون هورتون كونواي John Horton Conway (1937) من أكبر الرياضيين الحاليين، حصل على الدكتوراه فى الرياضة عام 1964، وله العديد من الإنجازات الرياضية نذكر منها المتتالية التى سميت باسمه " متتالية كونواى" وهى التى وصفها بقوله: «إنّ هذه المتتالية تُعد من أكثر المشكلات الرياضية جنونًا بشكلٍ لا يمكن تخيله، لأنّها تقود في النهاية إلى شيءٍ غريبٍ معقد"، كما عرفت هذه المتتالية باسم أنظر وقل Look-and-say. وقد إعتبرها البعض بأنها من المتتاليات الرائعة مثل متتالية فيبوناتشى.

تبدأ المتتالية بالحد (1)، فتقوم بحساب عدد هذا الحد ثم تذكر الرقم، أى واحد ( أى العدد) ثم واحد (أى قيمة العدد) وتكون المتتالية بهذا الشكل إذا بدأ بالرقم (1):

·        1        ويقرأ (1) وهو عدد الواحد، ثم (1) وهو القيمة، فتصبح المتتالية: 11

·        11      ويقرأ (2) هو عدد الواحد فى المتتالية، والـ 1 هو قيمة الرقم، فتصبح : 21

·        21      ويقرأ (1) هو عدد الإثنين فى المتتالية، ثم (2)، ثم (2) وهو عدد الواحد، ثم (1) وهو القيمة، فتصبح المتتالية هى: 1211

·        1211  وتقرأ (1) وهو عدد الواحد، ثم 1 وهو قيمة الرقم الأول من اليسار، ثم (1) عدد الـ 2، ثم 2 قيمة ثانى رقم من اليسار، ثم (2) هو عدد الواحد الثالث، ثم واحد وهو القيمة، وتقرأ :111221، وتقرأ : واحد واحد، واحد إثنين، إثنين واحد.

·        111221 نفس الشئ تقرأ ثلاثة واحد، إثنين إثنين، واحد واحد، أى : 312111.

·         312111 بنفس الطريقة تصبح : 13112221.

·        13112221 بنفس الطريقة تصبح : 1113213211.

وهكذا إلى مالا نهاية، وتكون صورة متتالية كونواى إذا بدأ بالرقم 2هى:

   ·   2

   ·   12

   ·   1112

   ·   3112

   ·   132112

   ·   1113122112

   ·   311311222112

   ·   13211321322112

   ·   1113122113121113222112

   ·   31131122211311123113322112

   ·   132113213221133112132123222112

   ·   11131221131211132221232112111312111213322112

   ·   31131122211311123113321112131221123113111231121123222112

    كونواى الثالث من اليمين وسط أصدقائه فى الجامعة عام 1979

المربع السحرى سداسى الزوايا

هل تجد حلا لهذه المسألة

فرضية صحيحة أن الـ 1 = 0.999999

الثقب الأسود فى الرياضيات

الثقب الأسود هو مكان في الكون السحيق من يدخلة لا يستطيع الخروج منه بسبب الجاذبية اللانهائية بداخله. وفي الرياضيات نجد أيضا الثقب الأسود، فإذا طبقنا بعض القواعد على أي عدد نجد أنه بعد عدد معين من التكرارات سيكون لدينا فى النهاية عدد يتكرر ولا يمكن الخروج منه.

تظهر ظاهرة الثقب الأسود فى الأرقام والأعداد التالية:

الصفر

عند ضرب أي رقم فى الصفر، فإنه ينتج صفرًا مرة أخرى، وبالتالي يعتبر الصفر بمثابة ثقب أسود رياضي، حيث لا يمكن الخروج من الصفر.

الرقم واحد (1)

يعتبر الرقم 1 بمثابة ثقب أسود رياضي، فإذا ربعناه أو كعبناه أو رفعناه لأى أس كانت النتيجة هى الواحد دائما، ولا يمكن الخروج منه.

الرقم أربعة (4)

يعتبر الرقم 4 أيضا ثقب أسود رياضي، فإذا أخذنا أى عدد مثلا 48، نكتبه بالإنجليزية : Forty eight، نقوم بجمع الأحرف الإنجليزية للعدد بما فيه المسافة، سنجد أنها 11، نحسب عدد حروف العدد الجديد بالإنجليزية Eleven، تكون 5، نحسب عدد حروفه بالإنجليزية Five، تكون 4، نحسب عدد حروفه بالإنجليزية Four، تكون أربعة، وإذا كررت ذلك مع الـ 4 بالإنجليزية كان الناتج أيضا 4، وهكذا لا يمكن الخروج من الرقم 4.

العدد (15)

نفس الشئ يعتبر ثقب أسود رياضى، فإذا أخذنا أى عدد وحصلنا على عوامله الأولية بما فيها الواحد والعدد نفسه، مثلا العدد 60، فإن عوامله الأولية هى:

1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 ، 60

ثم نقوم بجمع أرقام العوامل الأولية للعد فتكون:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 + 1 + 2 + 1 + 5 + 2 + 3 + 6 = 40.

نكرر نفس الشئ مع الناتج، فالعوامل الأولية للعد 40 هى:

1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 8 ، 10 ، 20 ، 40 ثم نقوم بجمع أرقامها فتكون:

1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 1 + 2 + 4 = 26

نكرر نفس الشئ مع الناتج، فالعوامل الأولية للعد 26 هى:

1 ، 2 ، 13 ، 26

ثم نقوم بجمع أرقامها فتكون:

1 + 2 + 3 + 1 + 6 + 2 = 15

نكرر نفس الشئ مع الناتج، فالعوامل الأولية للعد 15 هى:

1 ، 3 ، 5 ، 15

ثم نقوم بجمع أرقامها فتكون:

1 + 3 + 5 + 5 + 1 = 15

وهكذا لا يمكن الخروج من العدد 15.

العدد 123

يعتبر العدد 123 أيضا ثقب أسود رياضى.

إذا أخذت أى عدد بحيث يكون عدد أرقامه فردى، وحسبت عدد أرقامه، وعدد الأرقام الفردية فيه، ثم عدد الأرقام الزوجية ، وكتبتها بجانب بعض، ثم كرر العملية مع الناتج، فسوف تصل فى النهاية إلى العدد 123.

مثلا إذا أخذنا العدد: 218.639.117

مجموع أرقام العدد :                                  9

عدد الأرقام الفردية فيه:                                       6

عدد الأرقام الزوجية فيه:                                               3

نتج لدينا العدد: 369، نفس الشى نكرره معه:

مجموع أرقام العدد :                                  3

عدد الأرقام الفردية فيه:                                       2

عدد الأرقام الزوجية فيه:                                               1

نتج لدينا العدد 123، وإذا كررت نفس الخطوات مع العدد 123 حصلنا على نفس النتيجة، وهكذا مع أى عدد يكون عدد أرقامه فردى، أى أنه لا يمكن الخروج من العدد 15.

العدد 243

يعتبر العدد 243 أيضا ثقب أسود رياضى.

خذ أى عدد لا يحتوى أرقامه على الخمسة، ثم قم بضرب أرقام العدد فى بعض، ثم أضف عدد أرقام العدد الأصلى على يمين الناتج، وكرر الخطوات فسوف تحصل فى النهاية على العدد 243 ويتكرر بحيث لا يمكن الخروج منه.

خذ العدد: 642، حاصل ضرب أرقامه = 2 X 4X 6 = 48

عدد أرقام العدد الأصلى = 3، فيصبح العدد الجديد هو: 483

نضرب أرقامه فى بعض: 3 X 8X 4 = 96

و عدد أرقام العدد الأصلى = 3، فيصبح العدد الجديد هو: 963

وهكذا نقوم بنفس الخطوات فتكون النتيجة كما يلى:

1632

364

723

423

243

243

أى أنه لا يمكن الخروج من العدد 243.

العدد 6174

يعتبر العدد 243 أيضا ثقب أسود رياضى، وهو عدد مشهور يعرف باسم ثابت كابريكار Kaprekar's constant نسبة إلى الرياضى الهندى داتاثريا كابريكار Dattathreya Kaprekar  (1905-1986) والذى إكتشف هذا الثابت عام 1949.

إذا أخذت أى عدد رباعى الأرقام بشرط أن يكون به عددين مختلفين، ولا تكون أرقامه متشابهة مثل 1111، أو 2222، ورتبت أرقامه إلى عددين تصاعديا وتنازليا، ثم طرحت العدد الصغير من العدد الكبير، وكرر نفس الخطوات مع الناتج، فبعد عدة خطوات سوف تصل إلى العدد 6174 ولن تتمكن من الخروج منه.

مثلا: العدد 4254، عند ترتيبه تصاعديا وتنازليا وطرح الصغير من الكبير يكون الناتج:

5432 – 2345 = 3087

نكرر نفس الشى مع الناتج 3087 فتكون النتيجة:

8730 – 0378 = 8352

8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174

  

مثال آخر:

ومن عجائب العدد 6174:

·        هو ناتج مجموع العدد 18 مع مربعه ومكعبه:

18 + ²18 + ³18 = 18 + 324 + 5832 = 6174

كيف تخمن يوم ميلاد صديقك

مسألة لماجنيتسكى

  

عمل ليونتى فيليبوفيتش ماجنيتسكى Leonty Filippovich Magnitsky (1669-1739) كمدرس للرياضيات في كلية العلوم الرياضية والملاحة في موسكو منذ عام 1701، وهو أول من ألف كتاب دراسى في الرياضيات فى روسيا باسم الحساب عام 1703، والذى ظل يعمل به حتى قيام الثورة الروسية عام 1917، وذكر فيه المسألة التالية:

زار ولى أمر طالب الفصل الذى يدرس ابنه فيه، فسأل مدرس الفصل عن عدد طلاب الفصل، فرد المدرس قائلا:

" لو أصبح فوقهم نفس العدد الذى هم عليه الآن، وأضفت عليهم نصفهم، ثم ربعهم، ثم أضف إبنك عليهم يصبح لدى 100 طالبا"

فكم عدد الطلاب الموجودين فى الفصل؟

عدد الطلاب الموجودين فى الفصل = 36 طالبا.

لإثبات ذلك رياضيا نفرض أن عدد الطلاب = س، فإن:

                     س + س + 2/1 س + 4/1 س + 1 = 100

                    (8س + 2س + 4) / 4 = 100

                    11س + 4 = 400

                    س = 396 / 11 = 36.

إعرف العدد المختار

اطلب من صديقك أن يختار عددا أقل من 1000، ثم اطلب منه أن يقسم العدد المختار على 7 ثم على 11 ثم على 13، وأن يعطيك فى كل مرة باقى القسمة فى النواتج الثلاث.

مثلا إذا إختار صديقك العدد 654، فعند قسمته على:

7   ينتج 93 ويتبقى    3

11 ينتج 59 ويتبقى    5

13 ينتج 50 ويتبقى    4

لكى تعرف العدد الذى إختاره إضرب هذه البواقى فى الأعداد السحرية التالية:

 3 x 715  = 2145

 5 x 364  = 1820

 4  x924  = 3696، ثم قم بجمع هذه النواتج:

               = 7661 ، خذ أخر رقم على اليسار واضربه فى 1001، ثم إطرحه من الناتج:

               = 7007

               = 654 ، وهو العدد الذى أخذه صديقك.